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球协函数图像的绘制

本文利用 Python 编程语言实现归一化球协函数图像的数据准备,并用 Mathematica 绘制图像。 归一化球协函数为: \[ Y_{lm}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos(\theta))e^{im\phi} \] 其中 \(l=0,1,2,\cdots,m=0,\pm 1,\pm 2, \cdots, \pm l,\quad P_l^m(\cos \theta)\) 为连带勒让德函数 \(m>0\) 时,把 \(m\) 递归到零: \[\sqrt{1-x^2}P_l^m(x)=\frac{1}{2l+1}[(l-m+1)(l-m+2)P_{l+1}^{m-1}(x)-(l+m-1)(l+m)P_{l-1}^{m-1}(x)] \] \(m<0\) 时,把 \(m\) 递归的零: \[\sqrt{1-x^2}P_l^m(x)=\frac{1}{2l+1}[P_{l-1}^{m+1}(x)-P_{l+1}^{m+1}(x)] \] \(m=0\) 时,把 \(l\) 递归到零: \[(l-m)P_l^m(x)=(2l-1)xP_{l-1}^m(x)-(l+m-1)P_{l-2}^m(x)\] 利用以上三式就可以通过递归程序定义连带勒让德函数。 下面是 Python 程序代码